In der Vorlesung wird die klasische Theorie linearer inverser Probleme behandelt. Inverse Probleme kommen in vielen Anwendungen in der Physik, Technik, Biologie und medizinischer Bildgebung vor. Das Lösen eines inversen Problems besteht aus der Aufgabe, die Ursache eines physikalischen Modells aus Beobachtungen also Messungen zu bestimmen. Beispiele sind klassische Parameteridentifikationsprobleme, Bildrekonstruktion in der Computertomographie, Entfaltungen in der Mikroskopie oder Entrauschen von Bildern. Das zu Grunde liegende physikalische Modell kann häufig über Differentialgleichungen oder Integraloperatoren beschrieben werden. Dann sind die Beobachtungen Messungen von Lösungen der Differentialgleichung oder Auswertungen der Integrale. Die gesuchten Ursachen können dann Anfangsbedingungen, Parameterfunktionen oder Modellparameter sein.

Die größte Herausforderung beim Lösen inverser Problem ist die Tatsache, dass inverse Probleme häufig sogenannte schlecht gestellte Probleme sind: Verschiedene Ursachen können ganz ähnliche Wirkungen erzeugen, so dass es insbesondere bei messfehlerbehafteten Beobachtungen eine Rekonstruktion schwierig ist. Daher werden für die  Lösung Regularisierungsverfahren benötigt.

Es werden insbesonder folgende Themen behandelt:

• Beispiele inverser Probleme mit Fokus Bildgebungsverfahren
• Modell und Reconstruction in der  Computertomographie
• Theorie schlecht gestellter Operatorgleichungen
• Regularisierung von linearen inversen Problemen
• Iterative Regularisierungsverfahren
• Tikhonov-Regularisierung
• Ausblick: dynamische inverse Probleme in der medizinischen Bidlgebung

In der Vorlesung wird sowohl die Theorie aber auch die numerische Umsetzung der Rekonstruktionsverfahren behandelt. Ziel ist es, die Verfahren sowohl an simulierten aber auch an real gemessenen Daten auszuprobieren.

Literatur:

• Engl, Hanke, Neubauer, Regularization of inverse problems
• Rieder, Keine Probleme mit inversen Problemen
• Hansen, Discrete inverse problems
• Louis, Inverse und schlecht gestellte Probleme
• Mueller, Siltanen, Linear and nonlinear inverse problems with practical applications
• T. G. Feeman, The mathematics of medical imaging, Springer, 2010
• F. Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography, Classics in Applied Mathematics 32,SIAM, 2001

Weitere Infomateralien 

• Youtube Kanal von Samuli Siltanen über  Computertomographie
• Beispiele zu inversen Problemen sind auch auf der Vereinseite Gesellschaft für inverse Probleme