Kombinatorik

General

Modulbeschreibung

Lehrender: Marc Hellmuth

Datum/Ort: Do 14:00-16:00, Fr 12:00-14:00
                      Franz-Mehring-Straße 47/48 - SR 4

Certificate Requirements:

  • Aktive Teilnahme
  • 90-min. Klausur oder 30-min. mündlichen Prüfung.

Mündliche Klausur:

  • 15.Aug.
    •   9.00 Uhr Be_l_
    •   9.40 Uhr Vi_
    • 10.20 Uhr Gü_
    • 11.00 Uhr Sp_
    • 11.40 Uhr Sa_
    • 13.30 Uhr Sc_
    • 14.10 Uhr Ke_
    • 14.50 Uhr Bi_
  • 11.Sept.
    • 10.00 Uhr Ju_
    • 10.40 Uhr Be_

Dates and News

  • Die Vorlesung am 27/28.06. entfaellt.

Materials - Zusammenfassung Vorlesung


Vorlesung 1: Einführung (Anordnung, Klassifikation, Beispiele)

Vorlesung 2-3: Basics

  • Zählprinzipien
  • Permutation und Kombination von Mengen
  • Permutation und Kombination von Multi-Mengen
  • Endliche Wahrscheinlichkeiten

Vorlesung 4-5: Schubfach Prinzip (pigeonhole principle)

  • einfache Form des Schubfachprinzips
    • Chinesischer Restsatz
  • starke Form des Schubfachprinzips
    • Satz von Erdös-Szekeres
  • Satz von Ramsey

Vorlesung 5-6: Alg. zum Erzeugen von Permutationen und Kombinationen

  • Stirling Formel für n!
  • Alg. von Johnson-Trotter-Gardener
  • Gray-Code
  • Partielle Ordnung, Relationen, Hasse-Diagram

Vorlesung 7: Binomial Koeffizient

  • Binomial Koeffizient "natürliche Zahlen"
  • Binomial Koeffizienten sind unimodal
  • Multinomial Koeffizienten
  • Binomial Koeffizient "reelle Zahlen" + Newton's Binomial Theorem

Vorlesung 8-10: Prinzip der Inklusion und Exklusion + Anwendungen

  • Prinzip der Inklusion und Exklusion (PIE)
  • Kombination mit Wiederholungen
  • Fixpunktfreie Permutationen
  • Permutationen mit verbotenen Positionen

Vorlesung 10-13: Möbius Inversion

  • Einführung: multiplikative Zahlentheoretische Funktionen
  • reellwertige Funktionen auf partiell geordneten Mengen
  • Konvolution, 0-Fkt, Delta-Fkt, Zeta-Fkt
  • Existenz von Inversen Fkt, Möbius-Fkt + Bsp
  • Möbius Inversion Formel + Möbius-Fkt direktes Produkt
  • Anwendungen
    (Riemann Integral, PIE, Eulersche-Phi-Funktion, zirkuläre n-Permutations)

Vorlesung 13-16: Rekursionsgleichungen und Erzeugende Funktionen

  • lineare homogene Rek.gl. der Ordnung k (allg. und spezielle Lösungen)
  • Fibonacci-Folge
  • Gewöhnliche Erzeugende Funktionen
    • Basis-Operationen
    • Bestimmen von Partial-Summen
    • Zählen bei Kombinat. Problemen
    • Fibonacci-Folge
    • Catalan Zahlen
  • Exponentiell Erzeugende Funktionen
    • r-Permutationen von Multimengen
  • Lösen linearer Rek.gl.

Vorlesung 17-ende: Zählen von Färbungen geometrischer Objekte

  • Permutations und Symmetriegruppen (zykl. Gruppe, Diedergruppe)
  • Färbungen bzgl Komposition von Permutationen (äquiv. Färbungen)
  • Burnside's Theorem + Beispiele

Recommended Literature

  • "Introductory Combinatorics" (5th Edition), RA Brualdi, Pearson Education, Inc. (2009)
  • "Combinatorics and Graph Theory" (2nd Edition), Harris, Hirst and Mossinghoff, Springer, (2008)
  • "Applied Combinatorics" (6th Edition), Tucker, John Wiley & Sons, Inc. (2012)
  • "Analytik Combinatorics" Flajolet and Sedgewick, Cambride Univ. Press (2009)
    [Homepage][PDF]