Discrete Optimization
General
Lecturer: Marc Hellmuth
Dates and Place: D̶i̶.̶ ̶1̶2̶:̶0̶0̶ ̶b̶i̶s̶ ̶1̶4̶:̶0̶0̶, Mo 14:15-15:45, Do 14:15 bis 15:45
Franz-Mehring-Straße 47/48 - SR 5
START: 11.10.2016
Previous Knowledge:
- Optimization 1
- Familiarity with discrete mathematics
Certificate Requirements:
- Pass 30-45min oral exam
Dates and News
Die Vorlesung am Donnerstag 27.10.16 entfällt und wird an entsprechender Stelle nachgeholt.
Auf Wunsch der Studierenden wird die Dienstagvorlesung auf Montag 14:15 (SR 5) verlegt.
Materials - Zusammenfassung Vorlesung
Das Vorlesungsskript finden sie HIER
Vorlesung 1: Einführung - Skript Kapitel 0 und 1
- Def. Diskretes Optimierungsproblem mit Bsp: Job-Drilling, TSP, Knapsack
- Def. Integer (=ganzzahlig) Lineare Programme (ILP)
- Einschub Graphtheorie: (un)gerichtete Graphen, Grad, Teilgraph, Isomorphie, bipartite und vollständige Graphen, Komplement
Vorlesung 2: Übersicht Themen und Problemstellungen der disk. Opt.-Skript-Kapitel-2
- Komplexität (P, NP)
- ILP - Integer Linear Program
- Approximationsalgorithmen
- Lsg von Eingeschränkten Instanzen
- FPT - parametrisierte Algorithmen
- Heuristiken ohne Gütegarantie (Greedy)
Vorlesungen 3/4/5: Komplexität- Skript-Kapitel-3
- HALTE-problem (nicht entscheidbar)
- Entscheidungs- VS Optimierungsprobleme
- Die Klassen P, NP, (nicht)-deterministische Turingmaschine (TM)
- Polynomialzeit Reduktionen ≤p
- NP-vollständigkeit
- Bsp.: SAT ≤p 3-SAT ≤p CLIQUE ≤p VERTEX-COVER ≤p ILP
Vorlesungen 5/6/7: Kürzeste Wege - Skript-Kapitel-4
- Einschub Graphentheorie: Spaziergang, Weg, Kreis, Distanz, Zusammenhang, Baum, DAG
- Probleme: Gegeben: G:(V,E), Gewicht c:E→ℝ Ziel: Finde kürzeste Wege zwischen
- gegebenen s und t
- gegebenen s und zu allen anderen t
- zwischen allen s und t
- gegebenen s und t so dass alle anderen Knoten genau einmal besucht werden
- NP-schwere kürzeste Wege Probleme: 3-SAT ≤p Hamilton-Weg auf Di-Graphen ≤p Hamilton-Weg auf (unger.) Graphen ≤p Hamilton-Kreis auf (unger.) Graphen ≤p TSP
- "Einfache" kürzeste Wege Probleme:
- konservative Gewichtsfunktion
- Kürzeste Wege von einer Quelle (Bellmanns Optimalitätsprinzip, Rekursion für Kreisfreie Graphen, Dijkstra-Algorithmus)
- Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren (Struktur kürzester Wege, Floyd-Warshall Algorithmus)
Vorlesungen 7-15: Matroid Theorie -Skript-Kapitel-5
- Einschub Graphentheorie: Baum, Zusammenhangskomponente, Wald, Charakterisierung von Bäumen und Wäldern
- Min-Spannbaum Problem (MST): Kruskals-Algorithmus
- Max-Spannwald Problem (MGW): Äquivalenz zu MST
- Unabhängigkeitssystem, Kreise, Basen
- MAX/MIN Probleme für Unabhängigkeitssysteme + Beispiele
- Matroide
- Bsp: Vektormatroide, Kreismatroide, uniforme Matroide
- Satz: Basiselemente von Matroid haben gleiche Kardinalität
- Äquivalenz der Eigenschaften (M3) "Austaucheigenschaft" und (M3'), (M3'')
- Rang- und untere Rangfunktion, Rangquotient
- Andere Matroidaxiome
- Basisaxiome
- Rangaxiome
- Kreisaxiome für Unabhg.systeme und Matroide
- GREEDY-Algorithmus
- Def. für Maximierungsproblem + relative Approximationsgüte auf Unabhgkeitssyst.
- Edmonds-Rado-Satz + Minimierungsproblem
- Charakterizierung der Optimaliät von k-elementigen Mengen in Matroiden
- Das Coin-Change (Münzwechsel) Problem
- Matroid-Intersektion (Schnitt)
- Partition-Matroide
- Bsp: Maximum Matching in bipartiten Graphen
- Unabhgk.systeme sind Schnitte endlich vieler Matroide
- Das Matroid-Intersektion-Problem (Hilfsgraphen, augmentierende Wege, Charakterisierung von Kard-max Mengen im Schnitt von Matroid via Sx-Tx-Wege)
- Algorithmus von Edmond
- Anwendung Maximum Matching auf Vertex Cover in bipartiten Graphen
Vorlesungen 16-21: 6.Approximationsalgorithmen -Skript-Kapitel-6
- Nicht-Approximierbarkeit mit absoluter Güte
- Approximation mit absoluter Güte
- Min-Knotenfärbung, Satz von Brook, k-VertexCol ist NPvollst.
Approx-alg mit absoluter Güte "max_degree-1" - Planare Graphen, Eulersche Polyederformel, 4- und 5-Färbbarkeit
Approx-alg mit absoluter Güte "2"
- Min-Knotenfärbung, Satz von Brook, k-VertexCol ist NPvollst.
- Nicht-Approximierbarkeit mit absoluter Güte
- CLIQUE, (RUCKSACK-problem)
- Zushg approximierbarer Probleme und exakten polynomial-Zeit Algorithmen
- Approximation mit relativer Güte
- MIN-VC, MAX-CUT
- Nicht-Approximierbarkeit mit relativer Güte
- TSP
- Entscheidungsproblem k-Π und Zushg der NP-vollständigkeit von k-Π und der nicht-approx'barkeit des Problems Π mit relativer Güte < 1+1/k
- Approximationsschema
- PAS und FPAS
- Unmöglichkeitsergebnisse
- BSP: Max_simple_Knapsack (relative Güte und PAS)
Vorlesungen 22-Ende: 7. Fixed-paramater-tractable (FPT) Algorithmen - Skript-Kapitel-7
- parametrisierte Probleme, Klasse FPT und FPT-Algorithmen
- Problemkern-Reduktion
- Bsp. VC und Buss-Reduktion
- para_VC hat Problemkern O(k(k+1))
- FPT-alg. für para_VC mit Laufzeit O(kn+2^k k^2)
- Nemhauser-Trotter Theorem und linearer Problemkern für para_VC
- FPT-alg. für para_VC mit Laufzeit O(sqr(n)m+k2^k)
- Tiefenbeschränkte Suchbäume
- charakteristische Polynome für T_k, Branching-Vektor, Branching-Faktor
- Bsp. VC und FPT-Alg. mit Laufzeit O(kn+1,4656^k k^2)
Recommended Literature
- "Kombinatorische Optimierung - Theorie und Algorithmen", Korte & Vygen, Springer, Link can be found HERE
- "Combinatorial optimization - algorithms and complexity", Papadimitriou & Steiglitz, Dover
- "Exakte Algorithmen für schwere Graphenprobleme", Gurski et al., Springer