Discrete Optimization

General

Modulbeschreibung

Lecturer: Marc Hellmuth

Dates and Place: D̶i̶.̶ ̶1̶2̶:̶0̶0̶ ̶b̶i̶s̶ ̶1̶4̶:̶0̶0̶, Mo 14:15-15:45, Do 14:15 bis 15:45
                             Franz-Mehring-Straße 47/48 - SR 5
                             START: 11.10.2016

Previous Knowledge:

  • Optimization 1
  • Familiarity with discrete mathematics

Certificate Requirements:

  • Pass 30-45min oral exam

Dates and News

Die Vorlesung am Donnerstag 27.10.16 entfällt und wird an entsprechender Stelle nachgeholt.
Auf Wunsch der Studierenden wird die Dienstagvorlesung auf Montag 14:15 (SR 5) verlegt.

Materials - Zusammenfassung Vorlesung

Das Vorlesungsskript finden sie HIER

Vorlesung 1: Einführung - Skript Kapitel 0 und 1

  • Def. Diskretes Optimierungsproblem mit Bsp: Job-Drilling, TSP, Knapsack
  • Def. Integer (=ganzzahlig) Lineare Programme (ILP)
  • Einschub Graphtheorie: (un)gerichtete Graphen, Grad, Teilgraph, Isomorphie, bipartite und vollständige Graphen, Komplement

Vorlesung 2: Übersicht Themen und Problemstellungen der disk. Opt.-Skript-Kapitel-2                

  • Komplexität (P, NP)
  • ILP - Integer Linear Program
  • Approximationsalgorithmen
  • Lsg von Eingeschränkten Instanzen
  • FPT - parametrisierte Algorithmen
  • Heuristiken ohne Gütegarantie (Greedy)

Vorlesungen 3/4/5: Komplexität- Skript-Kapitel-3

  • HALTE-problem (nicht entscheidbar)
  • Entscheidungs- VS Optimierungsprobleme
  • Die Klassen P, NP, (nicht)-deterministische Turingmaschine (TM)
  • Polynomialzeit Reduktionen ≤p
  • NP-vollständigkeit
  • Bsp.: SAT ≤p 3-SAT ≤p CLIQUE ≤p VERTEX-COVER ≤p ILP

Vorlesungen 5/6/7: Kürzeste Wege - Skript-Kapitel-4

  • Einschub Graphentheorie: Spaziergang, Weg, Kreis, Distanz, Zusammenhang, Baum, DAG
  • Probleme: Gegeben: G:(V,E), Gewicht c:EZiel: Finde kürzeste Wege zwischen
    • gegebenen s und t
    • gegebenen s und zu allen anderen t
    • zwischen allen s und t
    • gegebenen s und t so dass alle anderen Knoten genau einmal besucht werden
  • NP-schwere kürzeste Wege Probleme: 3-SAT ≤p Hamilton-Weg auf Di-Graphen ≤p Hamilton-Weg auf (unger.) Graphen ≤p  Hamilton-Kreis auf (unger.) Graphen ≤p TSP
  • "Einfache" kürzeste Wege Probleme:
    • konservative Gewichtsfunktion
    • Kürzeste Wege von einer Quelle (Bellmanns Optimalitätsprinzip, Rekursion für Kreisfreie Graphen, Dijkstra-Algorithmus)
    • Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren (Struktur kürzester Wege, Floyd-Warshall Algorithmus)

Vorlesungen 7-15: Matroid Theorie  -Skript-Kapitel-5

  • Einschub Graphentheorie: Baum, Zusammenhangskomponente, Wald, Charakterisierung von Bäumen und Wäldern
  • Min-Spannbaum Problem (MST): Kruskals-Algorithmus
  • Max-Spannwald Problem (MGW): Äquivalenz zu MST
  • Unabhängigkeitssystem, Kreise, Basen
  • MAX/MIN Probleme für Unabhängigkeitssysteme + Beispiele
  • Matroide
    • Bsp: Vektormatroide, Kreismatroide, uniforme Matroide
    • Satz: Basiselemente von Matroid haben gleiche Kardinalität
    • Äquivalenz der Eigenschaften (M3) "Austaucheigenschaft" und (M3'), (M3'')
    • Rang- und untere Rangfunktion, Rangquotient
  • Andere Matroidaxiome
    • Basisaxiome
    • Rangaxiome
    • Kreisaxiome für Unabhg.systeme und Matroide
  • GREEDY-Algorithmus
    • Def. für Maximierungsproblem + relative Approximationsgüte auf Unabhgkeitssyst.
    • Edmonds-Rado-Satz + Minimierungsproblem
    • Charakterizierung der Optimaliät von k-elementigen Mengen in Matroiden
    • Das Coin-Change (Münzwechsel) Problem
  • Matroid-Intersektion (Schnitt)
    • Partition-Matroide
    • Bsp: Maximum Matching in bipartiten Graphen
    • Unabhgk.systeme sind Schnitte endlich vieler Matroide
    • Das Matroid-Intersektion-Problem (Hilfsgraphen, augmentierende Wege, Charakterisierung von Kard-max Mengen im Schnitt von Matroid via Sx-Tx-Wege)
    • Algorithmus von Edmond
    • Anwendung Maximum Matching auf Vertex Cover in bipartiten Graphen

Vorlesungen 16-21: 6.Approximationsalgorithmen -Skript-Kapitel-6

  • Nicht-Approximierbarkeit mit absoluter Güte
  • Approximation mit absoluter Güte
    • Min-Knotenfärbung, Satz von Brook, k-VertexCol ist NPvollst.
      Approx-alg mit absoluter Güte "max_degree-1"
    • Planare Graphen, Eulersche Polyederformel, 4- und 5-Färbbarkeit
      Approx-alg mit absoluter Güte "2"
  • Nicht-Approximierbarkeit mit absoluter Güte
    • CLIQUE, (RUCKSACK-problem)
    • Zushg approximierbarer Probleme und exakten polynomial-Zeit Algorithmen
  • Approximation mit relativer Güte
    • MIN-VC, MAX-CUT
  • Nicht-Approximierbarkeit mit relativer Güte
    • TSP
    • Entscheidungsproblem k-Π  und Zushg der NP-vollständigkeit von k-Π und der nicht-approx'barkeit des Problems Π mit relativer Güte < 1+1/k
  • Approximationsschema
    • PAS und FPAS
    • Unmöglichkeitsergebnisse
    • BSP: Max_simple_Knapsack (relative Güte und PAS)

Vorlesungen 22-Ende: 7. Fixed-paramater-tractable (FPT) Algorithmen - Skript-Kapitel-7

  • parametrisierte Probleme, Klasse FPT und FPT-Algorithmen
  • Problemkern-Reduktion
    • Bsp. VC und Buss-Reduktion
    • para_VC hat Problemkern O(k(k+1))
    • FPT-alg. für para_VC mit Laufzeit O(kn+2^k k^2)
    • Nemhauser-Trotter Theorem und linearer Problemkern für para_VC
    • FPT-alg. für para_VC mit Laufzeit O(sqr(n)m+k2^k)
  • Tiefenbeschränkte Suchbäume
    • charakteristische Polynome für T_k, Branching-Vektor, Branching-Faktor
    • Bsp. VC und FPT-Alg. mit Laufzeit O(kn+1,4656^k k^2)

Recommended Literature

  • "Kombinatorische Optimierung - Theorie und Algorithmen", Korte & Vygen, Springer, Link can be found HERE
  • "Combinatorial optimization - algorithms and complexity", Papadimitriou & Steiglitz, Dover
  • "Exakte Algorithmen für schwere Graphenprobleme", Gurski et al., Springer